Concours Médecine 2020 | Q67
Un module qui se cache dans une écriture élégante
On considère le nombre complexe z=1+ie , avec θ∈]−π,π[.
En réécrivant l’expression sous forme exponentielle, on met en évidence une factorisation simple qui permet de lire directement le module.
L’intervalle de θ joue un rôle clé pour déterminer le signe du cosinus et conclure sans ambiguïté.
Passage à la forme exponentielle
Lecture directe du module
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \(z=1+i e^{i\frac{\theta}{2}}\) où \(\theta\in ]-\pi, \pi[\)
alors \(|z|\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(2\)
\(\fbox{B}\) \(2 \cos\frac{\theta}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(2 \cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
\(\fbox{D}\) \(\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
\(\fbox{E}\) \(2 \sin\frac{\theta}{4}\)
La bonne réponse est C.
On considère le nombre complexe
\(z=1+i e^{i\frac{\theta}{2}}\) avec \(\theta\in]-\pi,\pi[\).
On cherche son module.
On rappelle que \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\).
On peut alors écrire
\(z=1+e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}=1+e^{i\frac{\pi+\theta}{2}}\).
On met sous une forme adaptée en factorisant.
On écrit
\(1=e^{-i\frac{\pi+\theta}{4}}e^{i\frac{\pi+\theta}{4}}\),
d’où
\(z=e^{i\frac{\pi+\theta}{4}}\left(e^{-i\frac{\pi+\theta}{4}}+e^{i\frac{\pi+\theta}{4}}\right)\).
Or
\(e^{-ia}+e^{ia}=2\cos a\),
donc
\(z=2\cos\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)e^{i\frac{\pi+\theta}{4}}\).
Comme \(\theta\in]-\pi,\pi[\), on a
\(0<\frac{\pi+\theta}{4}<\frac{\pi}{2}\),
et par conséquent
\(\cos\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)>0\).
Ainsi, le module de \(z\) est
\(|z|=2\cos\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)\).