Concours ENSA 2023 | Q20
Distance point–tangence en un calculDans cet exercice, on considère un cercle donné par son équation cartésienne et une droite passant
Distance point–tangence en un calculDans cet exercice, on considère un cercle donné par son équation cartésienne et une droite passant
Aire entre deux courbes : cloche et paraboleOn cherche l’aire comprise sous la courbey=1 / (1+x^2) et au-dessus de la
Distance point–plan : calcul rapide et pièges à éviterOn calcule la distance d’un point à un plan dans l’espace à
Équation différentielle linéaire : solution avec conditions initiales On cherche la solution de l’équation différentielle linéaire y′′−7y′+12y=0vérifiant les conditions initiales
Somme des racines de l’unité : résultat immédiatOn étudie la sommeS= (1+e^iπ/5+e^i4π/5+e^i6π/5+e^i8π/5)^(1000) En remarquant que 1=ei^0π/5 , on obtient :
Calcul d’une puissance complexe élevée : astuce rapideOn calcule (15+7i)/(7−15i)=−iÉlévation à la puissance :(−i)^2023=(−i).((−i)2)^1011=(−i).(−1)^1011=iRésultat final : ((15+7i)/(7−15i))^2023=iSimplification en multipliant par
Puissance élevée d’un nombre complexe : calcul rapideOn cherche (1+i)^2000On utilise les identités classiques :(1+i)^2=2i, donc (1+i)^2000=(2i)^1000Ensuite: (1+i)^2000=4^500Ainsi, le résultat
Somme des parties imaginaires d’une équation quadratique complexeOn considère l’équation complexe :z^2−4iz−4(1+i)=0sont ses solutions, la somme des racines est donnée
Calculer une intégrale trigonométrique en une seule ligneOn considère l’intégrale \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445} \sin x \,dxL’idée clé consiste à reconnaître immédiatement
Deux intégrales liées… une seule à calculerOn considère les intégrales I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin ^2(x) dx et J =\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos