Concours Médecine 2020 | Q70
Une dérivée qui se lit sans calcul
On considère la fonction f(x)=(x−5)(x−4)(x−3)(x−2)(x−1).
Plutôt que de développer ou de dériver terme à terme, on factorise intelligemment pour exploiter la règle du produit.
Cette observation permet d’obtenir directement la valeur de f'(1)
Factorisation stratégique
Dérivation sans calcul inutile
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \((\forall x \in IR)\) ;
\(f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)\) alors \(f^{\prime}(1)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) 24
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) 0
\(\fbox{D}\) 5
\(\fbox{E}\) -24
La bonne réponse est A.
On considère la fonction
\(f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)\).
On cherche la valeur de \(f'(1)\).
On utilise la définition de la dérivée en \(1\) :
\(f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\).
On remarque que
\(f(1)=(1-5)(1-4)(1-3)(1-2)(1-1)=0\).
Ainsi,
\(f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)}{x-1}\).
On simplifie par le facteur \(x-1\), ce qui donne
\(f'(1)=\lim_{x\to 1}(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\).
On évalue la limite en \(x=1\) :
\((1-5)(1-4)(1-3)(1-2)=(-4)(-3)(-2)(-1)=24\).