Concours Médecine 2020 | Q73
Un piège classique du plan complexe
Un exercice simple en apparence, mais qui révèle une idée clé du plan complexe.
On cherche l’ensemble des points M tels que z+1/z soit réel.
En raisonnant intelligemment, on découvre un lien surprenant entre l’axe réel et le cercle unité.
Exercice type bac
Méthode claire et efficace
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tel que : \(z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}\) est:
\(\fbox{A}\) L’axe des réels privé du point \(O\)
\(\fbox{B}\) Le cercle de centre \(O\) et de rayon 1
\(\fbox{C}\) L’axe des réels privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
\(\fbox{D}\) Le cerele de centre \(O\) et de rayon 1 privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
\(\fbox{E}\) L’axe des réels privé du point \(O\) union le cercle de centre \(O\) et de rayon 1
On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(z+\frac{1}{z}\in\mathbb{R}\).
Soit \(M(z)\) un point du plan d’affixe \(z=x+yi\).
Comme \(z\) est au dénominateur, on doit avoir \(z\neq 0\), donc \(M\neq O\).
La condition \(z+\frac{1}{z}\in\mathbb{R}\) signifie que
\(z+\frac{1}{z}=\overline{z+\frac{1}{z}}\).
On obtient alors
\(z+\frac{1}{z}=\bar z+\frac{1}{\bar z}\).
En regroupant les termes, on a
\(z-\bar z+\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar z}=0\).
Or
\(\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar z}=\frac{\bar z-z}{z\bar z}\),
donc
\((z-\bar z)\left(1-\frac{1}{|z|^2}\right)=0\),
ce qui donne
\(\frac{(z-\bar z)(|z|^2-1)}{|z|^2}=0\).
Ainsi, on a soit \(z=\bar z\), soit \(|z|^2=1\).
La condition \(z=\bar z\) signifie que \(y=0\), donc \(M\) appartient à l’axe des réels.
La condition \(|z|^2=1\) équivaut à \(x^2+y^2=1\), ce qui correspond au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
On conclut que l’ensemble des points \(M\) est l’axe des réels privé du point \(O\), union le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
La bonne réponse est E.
