Concours Médecine 2020 | Q75
Une limite qui se transforme grâce au logarithme
On étudie la fonction f(x)=1+x \ln \sqrt{1+\frac{a}{x}} et on cherche sa limite lorsque x→+∞
En réécrivant astucieusement le logarithme et en utilisant la limite classique
\(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1, la limite se simplifie immédiatement.
Astuce clé : transformation logarithmique
Limite classique utilisée
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Soit \(a \in] 0,+∞[.\) et \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=1+x \ln \sqrt{1+\frac{a}{x}}\),
alors \(\lim _{x \rightarrow +∞} f(x)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) 1
\(\fbox{B}\) \(1+\frac{a}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(1+a\)
\(\fbox{D}\)\(+∞\)
\(\fbox{E}\) \(a\)
La bonne réponse est B.
Soit \(f\) définie par \(f(x) = 1 + x \ln \sqrt{1+\frac{a}{x}}\).
On a :
\(f(x) = 1 + x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^{\frac{1}{2}}\)
\( = 1 + \frac{x}{2} \ln ( 1 + \frac{a}{x})\)
\(= 1 + \frac{a}{2} \cdot \frac{\ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right)}{\frac{a}{x}}\)
Or, on sait que
\(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1\) avec \(t = \frac{a}{x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
Donc :
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 + \frac{a}{2}\).