Concours Médecine 2020 | Q76
L’aire maximale d’un triangle isocèle révélée
On considère un triangle ABC isocèle en A avec AB=AC=10.
L’aire s’écrit AB⋅CH/2 CH est la hauteur issue de C
En utilisant sin(A)=CH/AC, on obtient S=50 sin(A).
L’aire est maximale lorsque sin(A)=1, donnant S_max=50
Astuce clé : hauteur et sinus
Maximisation simple grâce aux propriétés trigonométriques
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Soit ABC un triangle
isocèle en A tel que : AB=AC=10
L’aire maximale du triangle ABC est:
\(\fbox{A}\) \(25 \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(50\)
\(\fbox{C}\) \(100\)
\(\fbox{D}\)\(10\)
\(\fbox{E}\)\(5\sqrt{2}\)
La bonne réponse est B.
On considère un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\) avec \(AB=AC=10\).
Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \([AB]\), l’aire est \(S_{ABC}=\frac{CH \times AB}{2}\).
Or
\(\sin \hat A = \frac{CH}{AC}\) donc \(CH = AC \times \sin \hat A\).
Ainsi
\(S_{ABC} = \frac{AC \times \sin \hat A \times AB}{2} = \frac{10 \times \sin \hat A \times 10}{2} = 50 \times \sin \hat A\).
Comme
\(0 \le \sin \hat A \le 1\), on a \(0 \le S_{ABC} \le 50\).
Donc l’aire maximale est \(50\).