Concours Médecine 2020 | Q77
Comment calculer la dérivée de l’inverse d’une fonction ?
On considère f(x)=x^3+3 \ln x+1 et on cherche f^{-1})’ (2)
Astuce : pour une fonction dérivable
f et son inverse f−1: (f−1)′(y)=f′(f−1(y))1.
Trouver l’antécédent de 2 : f(1)=2⇒f−1(2)=1
Calculer f′(x)=3x^2+3/x
Évaluer : f′(1)=6
Conclusion : (f−1)′(2)=61
Résultat immédiat grâce à la formule de la dérivée d’une fonction inverse.
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \((\forall x \in \mathbb{R}_{+}^*) ; f(x)=x^3+3 \ln x+1\) alors le nombre dérivé
\((f^{-1})^{\prime}(2)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{3}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{6}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1}{5}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1}{4}\)
\(\fbox{E}\) \(\frac{1}{2}\)
La bonne réponse est B.
Si \( \forall x \in \mathbb{R}_+^* \), \( f(x)=x^3+3\ln x+1 \),
alors le nombre dérivé \( (f^{-1})'(2) \) est demandé.
On sait que
\( (f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(f^{-1}(2))} \).
On cherche l’antécédent de \(2\) par \(f\).
On a
\( f(1)=1^3+3\ln 1+1=2 \),
donc
\( f^{-1}(2)=1 \).
On calcule la dérivée :
\( f'(x)=3x^2+\frac{3}{x} \).
Alors
\( f'(f^{-1}(2))=f'(1)=3\cdot1^2+\frac{3}{1}=6 \).
Donc
\( (f^{-1})'(2)=\frac{1}{6} \).Donc la limite est \(l=1\).