Concours ENSA 2023 | Q04
Une équation du 5ᵉ degré… et une question simple
On considère l’équation 9x^5−12x^4+6x−5=0.
La question n’est pas de la résoudre complètement, mais de savoir si elle admet des solutions entières.
Avec un raisonnement rapide et ciblé, on peut trancher sans calcul lourd.
Analyse intelligente
Raisonnement arithmétique
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
L’équation à variables réelles \(9x^5-12x^4+6x-5=0\):
\(\fbox{A}\) admet une seule solution entière
\(\fbox{B}\) admet trois solutions entières
\(\fbox{C}\) admet cinq solutions entières
\(\fbox{D}\) n’admet pas de solution entière
La bonne réponse est D.
On pose:
\(Q(x)=9x^5-12 x^4+6 x-5\)
Soit \(x\) solution entière de l’équation \(Q(x)=0\)
* Méthode 1 raisonnement par disjonction des cas:
on a trois cas: \(x<=0\); x=1; \(x>=2\)
Cas 1: \(x≤0\)
\(9x^5≤0; -12 x^4≤0; 6 x≤0\)
\(\Rightarrow Q(x)=9x^5-12 x^4+6 x-5≤-5\)
\(\Rightarrow Q(x)≠0\)
Cas 2: \(x=1\)
\(Q(1)=9-12+6-5=-2\)
\(\Rightarrow Q(x)≠0\)
Cas 3: \(x≥2\)
\(Q(x)=9x^5-12 x^4+6 x-5\)
\(\Rightarrow Q(x)=3x^4(3x-4)+6x-5\)
\(x≥2 \Rightarrow Q(x)≥3×2^4(3×2-4)+6×2-5\)
\(\Rightarrow Q(x)≥3×16×2+12-5\)
\(\Rightarrow 3×2^4(3×2-4)+6×2-5≥103\)
\(\Rightarrow Q(x)≠0\)
Donc:
l’équation \(Q(x)=0\) n’admet pas de solution entière
* Méthode 2 raisonnement par l’absurde:
on Suppose que l’équation \(Q(x)=0\) admet de solution entière
\(\Rightarrow (\exists x \in Z) tel que 9x^5-12x^4+6x-5=0\)
\(\Rightarrow 3×(3x^5-4x^4+2x)=5\)
\(\Rightarrow\) \(5\) divise \(3\) ce qui est absurde
Donc:
l’équation \(Q(x)=0\) n’admet pas de solution entière