Concours ENSA 2023 | Q05
Une limite qui se joue à un détail prèsOn considère la suite u_n = Racine(n) – [Racine(n)], définie à partir de la partie entière.
La question porte sur le comportement de cette suite lorsqu’on l’évalue en n^2 + 2n.
Sans calcul lourd, une observation fine sur la racine carrée permet de déterminer la limite quand n tend vers l’infini.
Analyse subtile
Idée clé sur la partie entière
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Soit la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_n=\sqrt{n}-[\sqrt{n}], n \in IN\).
( \([x]\) désigne la partie entière de \(x\) ).
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{(n^2+2 n)}=\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) 2
\(\fbox{D}\) 3
Donc la bonne réponse est B.
Soit la suite \( (u_n) \) définie par \(u_n=\sqrt{n}-[\sqrt{n}]\),
où \([x]\) désigne la partie entière de \(x\).
On cherche la limite de \(u_{(n^2+2n)}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
On rappelle la définition de la partie entière :
pour tout réel \(x\), on a \([x]\le x<[x]+1\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
On cherche un encadrement de \(\sqrt{n^2+2n}\) entre deux entiers consécutifs.
On a
\(n^2 \le n^2+2n < n^2+2n+1\),
d’où
\(\sqrt{n^2} \le \sqrt{n^2+2n} < \sqrt{(n+1)^2}\),
ce qui donne
\(n \le \sqrt{n^2+2n} < n+1\).
Ainsi, \([\sqrt{n^2+2n}]=n\).
On calcule alors
\(u_{(n^2+2n)}=\sqrt{n^2+2n}-[\sqrt{n^2+2n}]\),
donc
\(u_{(n^2+2n)}=\sqrt{n^2+2n}-n\).
On rationalise :
\(\sqrt{n^2+2n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+2n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{\sqrt{n^2+2n}+n}\),
ce qui donne
\(\frac{n^2+2n-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}\).
On factorise par \(n\) :
\(\frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}}+n}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}\).
Or \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0\).
Par passage à la limite, on obtient
\(\lim_{n\to+\infty} u_{(n^2+2n)}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}=1\).