Concours ENSA 2023 | Q06
Une limite qui paraît instable… mais ne l’est pas
On étudie la limite de l’expression
e^x \sin(e^{-x})lorsque x tend vers +\infty.
À première vue, le produit semble difficile à analyser.
Pourtant, une idée simple permet de comprendre son comportement et de conclure sans calcul compliqué.
Raisonnement fin
Comportement asymptotique
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} e^x \sin(e^{-x})=\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) -1
\(\fbox{D}\) n’a pas de limite
La bonne réponse est B.
On cherche la limite de \(e^x \sin(e^{-x})\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
On pose \(y=e^{-x}\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(y\to 0^+\).
On réécrit l’expression :
\(e^x \sin(e^{-x}) = \frac{\sin(y)}{y}\).
On sait que \(\lim_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1\).
Par conséquent, on obtient:
\(\lim_{x\to+\infty} e^x \sin(e^{-x}) = 1\).