Concours ENSA 2023 | Q11
Deux intégrales liées… une seule à calculer
On considère les intégrales I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin ^2(x) dx et J =\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos ^2(x) dx
Plutôt que de calculer I directement, on exploite une idée classique : étudier la somme et la différence des deux intégrales.
Les identités trigonométriques et deux intégrations par parties suffisent alors pour conclure proprement.
Stratégie somme–différence
Utilisation intelligente des identités trigonométriques
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
On considère les deux intégrales suivantes:
\(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin ^2(x) dx \)
et \(J =\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos ^2(x) dx\)
La valeur de \(I\) vaut :
\(\fbox{A}\) \(\frac{\pi^3}{48}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}\)
\(\fbox{C}\) \(-\frac{\pi}{8}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{\pi^3}{48}+\frac{\pi}{8}\)
La bonne réponse est D.
On considère les intégrales
\(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^2 x\,dx\) et
\(J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos^2 x\,dx\).
On commence par calculer \(I+J\).
On a
\(I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2\sin^2 x+x^2\cos^2 x)\,dx\),
ce qui donne
\(I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2(\sin^2 x+\cos^2 x)\,dx\).
Or \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), donc
\(I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\,dx\).
On obtient
\(I+J=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3=\frac{\pi^3}{24}\).
Calculons maintenant \(I-J\).
On sait que \(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)\), donc
\(\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos(2x)\).
On a alors
\(I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2(\sin^2 x-\cos^2 x)\,dx
=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos(2x)\,dx\).
On intègre par parties.
On pose \(u(x)=x^2\) et \(v'(x)=-\cos(2x)\), d’où
\(u'(x)=2x\) et \(v(x)=-\frac{1}{2}\sin(2x)\).
On obtient
\(I-J=-[x^2\times(-\frac{1}{2}\sin(2x))]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}2x\times(-\frac{1}{2}\sin(2x))\,dx\).
Le terme de bord est nul car \(\sin(\pi)=0\), donc
\(I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin(2x)\,dx\).
On intègre à nouveau par parties.
On pose \(u(x)=x\) et \(v'(x)=\sin(2x)\), d’où
\(u'(x)=1\) et \(v(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)\).
On obtient
\(I-J=[-\frac{x}{2}\cos(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{2}\cos(2x)\,dx\).
Cela donne
\(I-J=-\frac{\pi}{4}\cos(\pi)+\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(2x)\,dx\).
Or \(\cos(\pi)=-1\) et \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(2x)\,dx=\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=0\).
Donc
\(I-J=\frac{\pi}{4}\).
En ajoutant les deux résultats, on obtient
\(2I=(I+J)+(I-J)=\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}\).
Ainsi
\(I=\frac{\pi^3}{48}+\frac{\pi}{8}\).