Concours ENSA 2023 | Q12
Calculer une intégrale trigonométrique en une seule ligne
On considère l’intégrale \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445} \sin x \,dx
L’idée clé consiste à reconnaître immédiatement la dérivée de cos(x)
En effectuant un simple changement de variable implicite, l’intégrale se réduit à une primitive directe, sans développement ni calcul lourd.
Le calcul des bornes permet alors d’obtenir le résultat exact en quelques secondes.
Astuce clé : reconnaître une forme f'(x).f^n(x)
Méthode rapide et élégante
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445} \sin x \,dx=\)
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{1445}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{1446}-\frac{\pi}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1}{1446}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1}{1447}+\frac{\pi}{2}\)
La bonne réponse est : C.
On considère
\( I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445}\sin x\,dx \).
On remarque \( (\cos x)’=-\sin x \).
Donc
\( I=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)'(\cos x)^{1445}\,dx \).
On utilise la formule :
\( \int f'(x)f(x)^n dx=\frac{1}{n+1}f(x)^{n+1} \).
Ainsi,
\( I=-[\frac{1}{1446}(\cos x)^{1446}]_0^{\frac{\pi}{2}} \).
Donc
\( I=-\frac{1}{1446}[(\cos\frac{\pi}{2})^{1446}-(\cos 0)^{1446}] \).
Or \( \cos\frac{\pi}{2}=0 \) et \( \cos 0=1 \).
Ainsi
\( I=-\frac{1}{1446}(0-1)=\frac{1}{1446} \).