Concours ENSA 2023 | Q18
Distance point–plan : calcul rapide et pièges à éviter
On calcule la distance d’un point à un plan dans l’espace à l’aide de la formule classique, puis on détermine le produit de deux distances.
Application directe de la formule distance point–plan
Calculs propres et structurés
Astuce pour simplifier les racines sans erreur
QCM typique des examens et concours
Une méthode claire pour gagner du temps et éviter les pièges de calcul.
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Soient \(d _{ A }\) la distance du point \(A (1,0,2)\) au plan \(( P ): 2 x+y+z+4=0\);
et \(d _{ B }\) la distance du point \(B (3,2,1)\) au plan \((Q):-x+5 y-4 z=5\).
Alors le produit des distances \(d _{ A }×d _{ B }\) est:
\(\fbox{A}\) \(\frac{8}{3 \sqrt{7}}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{10}{3 \sqrt{7}}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{11}{3 \sqrt{7}}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{13}{3 \sqrt{7}}\)
La bonne réponse est A.
On considère un point A(x_A,y_A,z_A) et un plan (P): ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0).
La distance du point A au plan (P) est donnée par
\( d(A,(P))=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \).
Pour le point A(1,0,2) et le plan (P): 2x+y+z+4=0, on obtient
\( d_A=\frac{|2\cdot1+0+2+4|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{6}} \).
Pour le point B(3,2,1) et le plan (Q): -x+5y-4z=5, on a
\( d_B=\frac{|-3+5\cdot2-4\cdot1-5|}{\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2}} \)
\( =\frac{2}{\sqrt{42}}=\frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{7}} \).
Le produit des distances vaut alors
\( d_A\times d_B=\frac{8}{\sqrt{6}}\times\frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{7}} \)
\( =\frac{16}{6\sqrt{7}}=\frac{8}{3\sqrt{7}} \).
Donc \( d_A\times d_B=\frac{8}{3\sqrt{7}} \).