Concours ENSA 2023 | Q19
Aire entre deux courbes : cloche et parabole
On cherche l’aire comprise sous la courbe
y=1 / (1+x^2) et au-dessus de la parabole y=x^2 / 2
Après avoir déterminé les points d’intersection, l’aire se calcule naturellement à l’aide d’une intégrale définie sur un intervalle symétrique.
Le calcul repose sur des primitives classiques : arctangente et polynôme.
Comparaison de deux fonctions
Détermination des bornes d’intégration
Calcul d’aire entre deux courbes
QCM type analyse
Une question classique, propre et efficace, parfaite pour les révisions.
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
L’aire sous la cloche d’équation \(y=\frac{1}{1+x^2}\) et au-dessus de la parabole d’équation \(y=\frac{x^2}{2}\) est :
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{3}\)
\(\fbox{B}\) \(-\frac{1}{3}+\frac{\pi}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3}\)
La bonne réponse est B
On pose \( f(x)=\frac{1}{1+x^2} \) et \( g(x)=\frac{x^2}{2} \).
On calcule
\( f(x)-g(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{x^2}{2} \)
\(=\frac{2-x^2(1+x^2)}{2(1+x^2)} \)
\(=\frac{2-x^2-x^4}{2(1+x^2)} \)
\(=\frac{(1-x^2)(2+x^2)}{2(1+x^2)} \).
Donc \( f(x)-g(x)=0 \iff x\in\{-1,1\} \).
L’aire cherchée est
\( A=\int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{x^2}{2}\right)\,dx \).
On a
\( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x) \) et
\( \int \frac{x^2}{2}\,dx=\frac{x^3}{6} \).
Ainsi
\( A=[\arctan(x)-\frac{x^3}{6}]_{-1}^{1} \)
\(=(\arctan(1)-\frac{1}{6})-(\arctan(-1)+\frac{1}{6}) \)
\(=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{6}-(-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{6}) \)
\(=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3} \).
Donc l’aire est égale à \( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{3} \).