Concours ENSA 2023 | Q20
Distance point–tangence en un calcul
Dans cet exercice, on considère un cercle donné par son équation cartésienne et une droite passant par un point extérieur, tangente au cercle.
Étapes clés
Mise sous forme canonique de l’équation du cercle
Identification du centre et du rayon
Utilisation de la propriété fondamentale :
la tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact
Calcul rapide de la longueur du segment tangent à partir d’un point extérieur
Résultat obtenu sans équation compliquée
Méthode géométrique classique, très efficace en QCM
Indispensable pour les examens et concours
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
On considère le cercle ( C ) d’équation \(x^2+y^2+x-3 y-3=0\)
et ( D ) la droite passant par le point \(A\) de coordonnées \((1,-2)\) et tangent à \(( C )\) au point \(M\).
La longueur du segment [AM] est égale à :
\(\fbox{A}\) 1
\(\fbox{B}\) 2
\(\fbox{C}\) 3
\(\fbox{D}\) 4
La bonne réponse est C
On réécrit l’équation du cercle : \( x^2+x+y^2-3y=3 \)
\( (x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=3+\frac{1}{4}+\frac{9}{4} \)
\( (x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{11}{2} \)
Le centre du cercle est
\( \Omega\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \)
et le rayon est \( R=\sqrt{\frac{11}{2}} \).
Comme \( AM \) est une tangente au cercle en \( M \), on a
\( AM^2=A\Omega^2-\Omega M^2 \).
On calcule
\( A\Omega^2=\left(-\frac{1}{2}-1\right)^2+\left(\frac{3}{2}+2\right)^2 \)
\( A\Omega^2=\frac{9}{4}+\frac{49}{4}=\frac{58}{4} \)
Ainsi
\( AM^2=\frac{58}{4}-\frac{22}{4}=\frac{36}{4}=9 \)
Donc : \( AM=\sqrt{9}=3 \).