Concours ENSA 2022 | Q01
Ce calcul cache un miracle mathématique
On sait que
Mais alors… que vaut111111111×111111111
Dans ce QCM surprenant, on découvre un schéma fascinant lié aux nombres palindromes.
Idée clé :
Les nombres formés uniquement de chiffres 1
Leur carré donne un palindrome parfait
Le chiffre du milieu correspond à la somme des 1
Exemples :
11^2=121
111^2=12321
111111111^2=12345678987654321
Une propriété élégante, rapide à expliquer, parfaite pour les QCM et les concours.
Bonne réponse : C
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Sachant que \(11 \times 11=121\), le produit \(111111111 \times 111111111\) est égal à:
\(\fbox{A}\) 1234567654321
\(\fbox{B}\) 123456787654321
\(\fbox{C}\) 12345678987654321
\(\fbox{D}\) 1234568654321
La bonne réponse est C.
Sachant que \(11 \times 11 = 121\), on cherche la valeur de
\(111111111 \times 111111111\).
On remarque que
\(111111111 \times 111111111 = 111111111^2\).
On rappelle la notion de nombre palindrome : un nombre qui se lit de la
même façon de gauche à droite et de droite à gauche, comme \(121\) ou \(12321\).
Pour \(11\), on a \(1+1=2\) et
\(11^2 = 121\).
Pour \(111\), on a \(1+1+1=3\) et
\(111^2 = 12321\).
Pour \(111111111\), la somme des chiffres est
\(1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9\).
Le carré est alors un nombre palindrome qui croît de \(1\) jusqu’à \(9\),
puis décroît jusqu’à \(1\), donc
\(111111111^2 = 12345678987654321\).
Ainsi,
\(111111111 \times 111111111 = 12345678987654321\).