Concours ENSA 2022 | Q03
Logique & Quantificateurs | Négation d’une proposition
Ce QCM de mathématiques, on travaille la logique mathématique et la négation des quantificateurs.
On cherche la négation de la proposition : « f est la fonction nulle »
À travers une analyse simple et rigoureuse, on rappelle que :
une proposition universelle ∀ se nie par une proposition existentielle ∃, et que comprendre cette règle est essentiel pour réussir les QCM du bac et des concours.
Méthode indispensable en analyse, logique et raisonnement mathématique.
La bonne réponse est justifiée pas à pas.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soit \(f\) : \(IR \rightarrow IR\). La négation de la proposition » \(f\) est la fonction nulle » est:
\(\fbox{A}\) \(\forall x \in I R, f(x)>0\)
\(\fbox{B}\) \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0\)
\(\fbox{C}\) \(\forall x \in IR, f(x)=0\)
\(\fbox{D}\) \(\exists x \in IR, f(x) \neq 0\)
La bonne réponse est D.
On considère une fonction \( f : IR \rightarrow IR \).
On cherche la négation de la proposition
\( f \) est la fonction nulle.
Par définition, dire que \( f \) est la fonction nulle signifie que
\( \forall x \in IR, f(x)=0 \).
Soit \( P \) la proposition
\( P : \forall x \in IR, f(x)=0 \).
On utilise la règle de négation des quantificateurs :
la négation de \( \forall x, p(x) \) est \( \exists x, \neg p(x) \).
La négation de \( P \) est donc
\( \exists x \in IR \) tel que \( f(x) \neq 0 \).
Ainsi, la négation de la proposition
\( f \) est la fonction nulle est \( \exists x \in IR, f(x) \neq 0 \).