Concours ENSA 2022 | Q05
Astuce rapide et efficace | Terme maximal du binôme de Newton
Ce QCM présente la résolution détaillée d’un exercice de mathématiques sous forme de questionnaire à choix multiples. L’objectif est de déterminer l’indice du terme maximal au sein du développement de l’expression (20+21)^{22} en utilisant la formule du binôme de Newton.
La démonstration repose sur l’analyse de la variation d’une suite de termes en comparant le rapport de deux termes consécutifs à l’unité.
Par une étude algébrique rigoureuse, la source établit que la valeur atteint son apogée lorsque la variable k est égale à 11.
Cette explication logique permet ainsi de justifier la sélection de la réponse D parmi les options proposées.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La valeur maximale des termes \(u_k=c_{22}^k 20^{22-k} 21^k\) dans le développement du nombre \((20+21)^n\)
par la formule du Binôme de Newton est atteinte pour k égal à:
\(\fbox{A}\) 8
\(\fbox{B}\) 9
\(\fbox{C}\) 10
\(\fbox{D}\) 11
La bonne réponse est D .
On considère le développement de
\( (20+21)^{22} \).
D’après la formule du binôme de Newton,
\( (a+b)^n= \).
Ici on a \( a=20 \), \( b=21 \) et \( n=22 \).
Les termes du développement sont donc
\( U_k=C_{22}^k\,20^{22-k}\,21^k \).
On cherche la valeur de \( k \) pour laquelle \( U_k \) est maximal.
On écrit
\( U_k=20^{22}\,C_{22}^k(\frac{21}{20})^k \).
Comme \( 20^{22} \) est une constante strictement positive, maximiser \( U_k \)
revient à maximiser
\( V_k=C_{22}^k(\frac{21}{20})^k \).
Soit \( k\in[0,22] \). On étudie le quotient \( \frac{V_{k+1}}{V_k} \).
On a
\( \frac{V_{k+1}}{V_k}
=\frac{C_{22}^{k+1}}{C_{22}^k}\times\frac{21}{20}
=\frac{22-k}{k+1}\times\frac{21}{20} \).
On compare ce quotient à 1.
On calcule
\( \frac{V_{k+1}}{V_k}-1
=\frac{21(22-k)-20(k+1)}{20(k+1)}
=\frac{444-41k}{20(k+1)} \).
Pour \( k\geq11 \), on a
\( 444-41k<0 \) et \( 20(k+1)>0 \).
Donc
\( \frac{V_{k+1}}{V_k}-1<0 \),
ce qui montre que la suite \( (V_k) \) est strictement décroissante pour \( k\geq11 \).
Par conséquent, le maximum de \( V_k \) est atteint pour \( k=11 \).
Comme \( U_k=20^{22}V_k \),
le maximum de \( U_k \) est aussi atteint pour \( k=11 \).
La valeur maximale des termes est donc obtenue pour \( k=11 \).