Concours ENSA 2022 | Q09
Dérivée Impossible ? Tu vas être surpris !
Dérivation d’une fonction assez complexe
On considère la fonction :
\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[3]{(x+2)^{2} \sqrt{(x+3)^3}}}\)
Objectif : déterminer sa dérivée parmi plusieurs propositions.
Au programme :
Réécriture avec les puissances
Astuce pour simplifier l’expression
Calcul structuré avec une fonction intermédiaire
Utilisation intelligente des dérivées composées
À la fin, tu comprendras comment éviter les erreurs classiques et aller plus vite
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La dérivée de la fonction \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[3]{(x+2)^{2} \sqrt{(x+3)^3}}}\) est:
\(\fbox{A}\) \(\frac{5 x^2-x-12}{\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{3 x^2+x-24}{\sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{2 x^2+x-24}{2 \sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}\)
\(\fbox{D}\)\( \frac{5 x^2+x-24}{3 \sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}}\)
La bonne réponse est D.
On considère la fonction \( f \) définie par :
\( f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}} \sqrt{(x+3)^3}} \)
Réécriture avec des exposants fractionnaires :
\( f(x)=\frac{(x-1)^{\frac{1}{2}}}{(x+2)^{\frac{2}{3}}(x+3)^{\frac{3}{2}}} \)
Mise sous forme d’une racine sixième :
\( f(x)=\left( \frac{(x-1)^3}{(x+2)^4 (x+3)^9} \right)^{\frac{1}{6}} \)
On pose \( g(x)=\frac{(x-1)^3}{(x+2)^4 (x+3)^9} \).
Alors \( f(x) = g(x)^{\frac{1}{6}} \) et \( f'(x) = \frac{1}{6} \, g'(x) \, g(x)^{-\frac{5}{6}} \). (1)
Calcul de \( g'(x) \) :
On calcule d’abord la dérivée du dénominateur :
\( [(x+2)^4 (x+3)^9]’ = 4(x+2)^3 (x+3)^9 + (x+2)^4 \cdot 9 (x+3)^8 \)
\( = (x+2)^3 (x+3)^8 \big[ 4(x+3) + 9(x+2) \big] = (x+2)^3 (x+3)^8 (13x + 35) \)
En appliquant la formule de dérivée d’un quotient :
\( g'(x) = \frac{3(x-1)^2 (x+2)^4 (x+3)^9 – (x-1)^3 (x+2)^3 (x+3)^8 (13x+35)}{(x+2)^8 (x+3)^{18}} \)
\( = \frac{(x-1)^2 (x+2)^3 (x+3)^8 \big[ 3(x+2)(x+3) – (x-1)(13x+35) \big]}{(x+2)^8 (x+3)^{18}} \)
\( = \frac{(x-1)^2 \big[ 3(x+2)(x+3) – (x-1)(13x+35) \big]}{(x+2)^5 (x+3)^{10}} \)
On développe le crochet :
\( 3(x+2)(x+3) = 3(x^2 + 5x + 6) = 3x^2 + 15x + 18 \)
\( (x-1)(13x+35) = 13x^2 + 35x – 13x – 35 = 13x^2 + 22x – 35 \)
\( 3x^2 + 15x + 18 – (13x^2 + 22x – 35) = -10x^2 – 7x + 53 \)
Ainsi :
\( g'(x) = \frac{(x-1)^2 (-10x^2 – 7x + 53)}{(x+2)^5 (x+3)^{10}} \)
Substitution dans (1) :
\( f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{(x-1)^2 (-10x^2 – 7x + 53)}{(x+2)^5 (x+3)^{10}} \cdot \left( \frac{(x-1)^3}{(x+2)^4 (x+3)^9} \right)^{-\frac{5}{6}} \)
On élève à la puissance \( -\frac{5}{6} \) :
\( \left( \frac{(x-1)^3}{(x+2)^4 (x+3)^9} \right)^{-\frac{5}{6}} = \frac{(x-1)^{-\frac{5}{2}}}{(x+2)^{-\frac{10}{3}} (x+3)^{-\frac{15}{2}}} \)
Donc :
\( f'(x) = \frac{1}{6} (-10x^2 – 7x + 53) \cdot \frac{(x-1)^{2 – \frac{5}{2}}}{(x+2)^{5 – \frac{10}{3}} (x+3)^{10 – \frac{15}{2}}} \)
Calcul des exposants :
\( 2 – \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} \), \( 5 – \frac{10}{3} = \frac{5}{3} \), \( 10 – \frac{15}{2} = \frac{5}{2} \)
Ainsi :
\( f'(x) = \frac{1}{6} (-10x^2 – 7x + 53) \cdot \frac{(x-1)^{-\frac{1}{2}}}{(x+2)^{\frac{5}{3}} (x+3)^{\frac{5}{2}}} \)
Soit :
\( f'(x) = \frac{-10x^2 – 7x + 53}{6 \sqrt{x-1} \sqrt[3]{(x+2)^5} \sqrt{(x+3)^5}} \)