Concours ENSA 2022 Q12
Cette intégrale se simplifie toute seule !
Un exercice qui paraît long… mais qui devient très rapide avec une bonne méthode
On cherche à calculer une intégrale d’une puissance élevée :
une expression du type \( (x^2-1)^4\)
À première vue, cela semble compliqué… mais il y a une idée très simple
On utilise le triangle de Pascal pour développer rapidement l’expression, sans se tromper dans les coefficients.
Ensuite, autre observation importante :
la fonction obtenue est paire, ce qui permet de simplifier le calcul sur l’intervalle [−1,1]
Résultat :
on évite les calculs inutiles et on gagne beaucoup de temps.
Ce type d’exercice est très utile pour :
maîtriser les développements
reconnaître les symétries
optimiser les calculs d’intégrales
Moralité : repérer une fonction paire peut diviser le travail par deux !
Résultat final : une valeur simple et élégante.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soit l’intégrale \(I_n=\int_{-1}^1\left(x^2-1\right)^n dx \)
La valeur de \(I_4\) est:
\(\fbox{A}\) \(\frac{252}{315}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{254}{315}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{258}{315}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{256}{315}\)
La bonne réponse est D.
Calcul de \( I_4 = \int_{-1}^1 (x^2-1)^4 \, dx \)
Méthode : on utilise le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de \((x^2-1)^4\).
En effet, d’après le triangle de Pascal, les coefficients pour la puissance 4 sont : \(1, 4, 6, 4, 1\).
Ainsi :
\( (x^2-1)^4 = (x^2)^4 – 4(x^2)^3 + 6(x^2)^2 – 4(x^2) + 1 \)
\( = x^8 – 4x^6 + 6x^4 – 4x^2 + 1 \)
D’où :
\( I_4 = \int_{-1}^1 (x^8 – 4x^6 + 6x^4 – 4x^2 + 1) \, dx \)
\( = \left[ \frac{1}{9}x^9 – \frac{4}{7}x^7 + \frac{6}{5}x^5 – \frac{4}{3}x^3 + x \right]_{-1}^1 \)
Calculons la valeur en \( x = 1 \) :
\( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \)
Calculons la valeur en \( x = -1 \) :
\( -\frac{1}{9} + \frac{4}{7} – \frac{6}{5} + \frac{4}{3} – 1 \)
On remarque que ces deux expressions sont opposées. En effet :
\( \left[ \frac{1}{9}x^9 – \frac{4}{7}x^7 + \frac{6}{5}x^5 – \frac{4}{3}x^3 + x \right]_{-1}^1 \)
\( = \left( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \right) – \left( -\frac{1}{9} + \frac{4}{7} – \frac{6}{5} + \frac{4}{3} – 1 \right) \)
\( = 2 \left( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \right) \)
Mettons au même dénominateur commun \( 315 \) :
\( \frac{1}{9} = \frac{35}{315} \), \( -\frac{4}{7} = -\frac{180}{315} \), \( \frac{6}{5} = \frac{378}{315} \), \( -\frac{4}{3} = -\frac{420}{315} \), \( 1 = \frac{315}{315} \)
Somme :
\( \frac{35 – 180 + 378 – 420 + 315}{315} = \frac{128}{315} \)
Ainsi :
\( I_4 = 2 \times \frac{128}{315} = \frac{256}{315} \)
La valeur de \( I_4 \) est \( \frac{256}{315} \).