Concours ENSA 2022 Q15
\(z^5\) donne le conjugué ? Résultat inattendu !
Au début, on pourrait penser à faire des multiplications longues… mais ce n’est clairement pas la bonne stratégie
L’idée intelligente consiste à voir ce nombre comme un point sur le cercle complexe.
Cela permet de le réécrire sous une forme beaucoup plus simple à manipuler.
Ensuite, élever ce nombre à une puissance revient simplement à “faire tourner” ce point autour du cercle
Et là… une observation clé change tout :
l’angle obtenu permet de relier directement le résultat au conjugué de zzz
On découvre alors une relation surprenante.
Ce type d’exercice permet de comprendre :
la géométrie des nombres complexes
l’intérêt de la forme exponentielle
et les liens entre un nombre et son conjugué
Moralité : en complexes, voir la rotation est souvent la clé !
Résultat final : une relation simple et élégante avec le conjuguée.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soit le nombre complexe \(z=\sqrt{3}+i\), alors \(z^5\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(\bar{z}\)
\(\fbox{B}\) \(-8 \bar{z}\)
\(\fbox{C}\) \(-16 \bar{z}\)
\(\fbox{D}\) \(16 \bar{z}\)
La bonne réponse est C.
Calcul de \(z^5\) avec \(z = \sqrt{3} + i\).
On a :
\(|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
D’où :
\(z = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}\)
Par suite :
\(z^5 = (2 e^{i \frac{\pi}{6}})^5 = 2^5 e^{i \frac{5\pi}{6}}\)
Or \(\frac{5\pi}{6} = \pi – \frac{\pi}{6}\), donc :
\(e^{i \frac{5\pi}{6}} = e^{i \pi} e^{-i \frac{\pi}{6}} = – e^{-i \frac{\pi}{6}}\)
Ainsi :
\(z^5 = 2^5 \times \left( – e^{-i \frac{\pi}{6}} \right) = -32 e^{-i \frac{\pi}{6}}\)
Or \(e^{-i \frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2} i = \frac{\bar{z}}{2}\), car \(\bar{z} = \sqrt{3} – i\)
Donc :
\(z^5 = -32 \times \frac{\bar{z}}{2} = -16 \, \bar{z}\)