Concours ENSA 2022 Q19
Probabilité totale : la méthode rapide pour tout calculer !
Un exercice de probabilité très classique… mais qui demande une bonne organisation
On a plusieurs clubs (Cyber Sécurité, Sport, Environnement), chacun avec une répartition différente entre filles et garçons.
La question est simple en apparence : quelle est la probabilité de choisir une fille ?
Mais attention
On ne peut pas prendre un seul pourcentage directement… il faut combiner toutes les situations.
L’idée clé ici, c’est d’utiliser la formule des probabilités totales
On additionne les probabilités de chaque cas possible :
être dans un club et être une fille dans ce club
Chaque club contribue donc au résultat final
En faisant les calculs correctement, on obtient une valeur simple et logique.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
la formule des probabilités totales, l’organisation des données et les calculs avec des pourcentages
Moralité : en probabilité, on décompose toujours en cas simples !
Résultat final : une probabilité claire et cohérente.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La première année du cycle préparatoire d’une ENSA comporte 300 élèves ingénieurs.
Ils sont inscrits aux clubs des activités de l’Ecole selon la répartition suivante : 60 au club Cyber Sécurité dont \(30 \%\) sont des filles, 90 au club Sport dont \(60 \%\) sont des filles, et 150 au club Environnement dont \(72 \%\) sont des filles. Chaque élève-ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e).
La probabilité que l’élève choisi(e) soit une fille est:
\(\fbox{A}\) 0,4
\(\fbox{B}\) 0,5
\(\fbox{C}\) 0,6
\(\fbox{D}\) 0,7
La bonne réponse est C.
On a trois activités:
* pour le Club Cyber Sécurité (C_CS)
Card(C_CS)=60 \(\Rightarrow\) P(C_CS)=\(\frac{60}{300}=\frac{1}{5}\)
filles : \(30 \%\) Garçon: \(70 \%\)
* pour le Club Sport (C_S)
Card(C_CS)=90 \(\Rightarrow\) P(C_CS)=\(\frac{90}{300}=\frac{3}{10}\)
filles : \(60 \%\) Garçon: \(30 \%\)
* pour le Club Environnement(C_E)
Card(C_CS)=150 \(\Rightarrow\) P(C_CS)=\(\frac{150}{300}=\frac{1}{2}\)
filles : \(72\%\) Garçon: \(28\%\)
La probabilité que l’élève choisi(e) soit une fille P(F) est:
fille C_CS ou fille C_S ou fille C_E
d’aprés la Formule des probabilités totales:
P(F)=P(C_CS)×P(C_CS_F)+P(C_S)×P(C_S_F)+P(C_E)×P(C_E_F)
\(=\frac{1}{5} \times \frac{30}{100}+\frac{3}{10} \times \frac{60}{100}+\frac{1}{2} \times \frac{72}{100}\)
\(=\frac{1}{5} \times \frac{3}{10}+\frac{3}{10} \times \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{18}{25}\)
\(=\frac{3}{50}+\frac{9}{50}+\frac{18}{50}\)
\(=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}\)
Donc:
P(F)=\(0,6\)