Concours ENSA 2021 | Q03
Astuce rapide avec les puissances !
Nombre impressionnant… mais facile à obtenir
Un exercice qui paraît énorme… mais qui devient très simple avec une bonne méthode
On cherche le nombre de diviseurs d’un grand nombre composé de puissances :
\(N = 72^{10} \times 162^{50}\)
À première vue, impossible à calculer directement
Mais en réalité, tout repose sur une idée clé
Première étape : décomposer en facteurs premiers
On transforme chaque nombre en puissances de 2 et de 3.
Deuxième étape : regrouper les puissances
On simplifie pour obtenir une seule écriture du type :
un produit de puissances de nombres premiers
Troisième étape : appliquer une formule magique
Le nombre de diviseurs dépend des exposants !
Et là… tout devient rapide
un simple calcul donne le résultat final.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
la décomposition en facteurs premier, les règles sur les puissances et le calcul du nombre de diviseurs
Moralité : en arithmétique, simplifier avant de calculer est la clé !
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
Le nombre de diviseurs de \(N = 72^{10} \times 162^{50}\) est :
\(\boxed{A}\) 17600
\(\boxed{B}\) 17680
\(\boxed{C}\) 17820
\(\boxed{D}\) 17901
La bonne réponse est D.
Pour déterminer le nombre de diviseurs de \(N\), on commence par décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers.
On a :
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
\(162 = 2 \times 3^4\)
Ensuite, on calcule \(N\) :
\(N = (2^3 \times 3^2)^{10} \times (2 \times 3^4)^{50}\)
\(N = (2^{30} \times 3^{20}) \times (2^{50} \times 3^{200})\)
\(N = (2^{30} \times 2^{50}) \times (3^{20} \times 3^{200})\)
\(N = 2^{80} \times 3^{220}\)
La règle pour le nombre de diviseurs d’un nombre dont la décomposition en facteurs premiers est \(p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}\) est :
\((\alpha_1 + 1) \times (\alpha_2 + 1) \times \dots \times (\alpha_k + 1)\)
On applique cette règle à \(N = 2^{80} \times 3^{220}\) :
\((80 + 1) \times (220 + 1) = 81 \times 221\)
Calculons :
\(81 \times 221 = 81 \times (200 + 21) = 81 \times 200 + 81 \times 21 = 16200 + 1701 = 17901\)
Ainsi, le nombre de diviseurs de \(N\) est \(17901\).