Concours ENSA 2021 | Q04
Équation cachée : astuce pour simplifier en 2 lignes !
Un exercice qui semble compliqué… mais qui cache une structure très élégante
On travaille avec deux nombres réels liés par une relation simple :
ils sont inverses l’un de l’autre.
À partir de là, une expression un peu lourde apparaît… mais il ne faut pas paniquer
L’idée clé consiste à remplacer intelligemment pour tout exprimer avec une seule variable
Ensuite, magie
les termes se regroupent naturellement et donnent une forme beaucoup plus simple.
On arrive alors à une équation remarquable…
qui se transforme en un carré parfait !
Résultat :
au lieu d’un calcul compliqué, on résout une équation classique et rapide
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les substitutions intelligentes, les identités remarquables et la simplification d’expressions
Moralité : reconnaître une structure cachée peut tout simplifier !
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
Soit \(x\) et \(y\) deux réels non nuls, inverses l’un de l’autre, tel que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10. Le carré du nombre \(x\) vaut :
\(\boxed{A}\) \(2-\sqrt{3}\) ou \(2+\sqrt{3}\)
\(\boxed{B}\) \(2-\sqrt{3}\) ou \(2+\sqrt{3}\)
\(\boxed{C}\) \(1-\sqrt{3}\) ou \(1+\sqrt{3}\)
\(\boxed{D}\) \(2-\sqrt{5}\) ou \(2+\sqrt{5}\)
La bonne réponse est A.
Soit \(x\) et \(y\) ces deux réels non nuls.
On a :
Ils sont inverses l’un de l’autre : \(y = \frac{1}{x}\) (1)
La somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10 :
\((x + y)^2 + x^2 + y^2 = 10\) (2)
On remplace (1) dans (2) :
\((x + \frac{1}{x})^2 + x^2 + \frac{1}{x^2} = 10\)
On développe :
\(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 + x^2 + \frac{1}{x^2} = 10\)
On regroupe : \(2x^2 + \frac{2}{x^2} + 2 = 10\)
On simplifie :
\(2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 8\)
Donc : \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 4\)
On multiplie par \(x^2\) : \(x^4 + 1 = 4x^2\)
Soit : \(x^4 – 4x^2 + 1 = 0\)
On écrit : \(x^4 – 4x^2 + 4 = 3\)
Donc : \((x^2 – 2)^2 = 3\)
On obtient : \(x^2 – 2 = \sqrt{3}\) ou \(x^2 – 2 = -\sqrt{3}\)
Ainsi : \(x^2 = 2 + \sqrt{3}\) ou \(x^2 = 2 – \sqrt{3}\)