Concours ENSA 2021 | Q05
Produit compliqué ? Astuce avec les puissances et suites géométriques !
Un produit qui paraît impossible à calculer à la main… mais qui devient avec une bonne méthode
On a une suite de racines avec des indices qui changent à chaque fois
Mais au lieu de calculer terme par terme, on utilise une idée très puissante
Première étape : transformer les racines en puissances
Cela permet de rendre l’expression beaucoup plus claire.
Deuxième étape : utiliser une propriété essentielle
Le produit de puissances de même base devient une somme d’exposants
Et là… surprise
on obtient une somme géométrique !
Dernière étape : appliquer la formule de la somme
et tout se simplifie rapidement
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les puissances et racines, les produits transformés en sommes et les suites géométriques
Moralité : transformer avant de calculer est souvent la meilleure stratégie !
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
Le produit : \(\displaystyle \prod_{k=0}^9 \sqrt[3 \times 2^k]{5} =\)
\(\boxed{A}\) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{256}}}\)
\(\boxed{B}\) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}}\)
\(\boxed{C}\) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}\)
\(\boxed{D}\) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}}\)
La bonne réponse est C.
On a : \( A = \prod_{k=0}^9 \sqrt[3 \times 2^k]{5} \)
On réécrit chaque terme sous forme d’exposant :
\(\sqrt[3 \times 2^k]{5} = \sqrt[3]{5^{\frac{1}{2^k}}}\)
Ainsi :
\( A = \prod_{k=0}^9 \sqrt[3]{5^{\frac{1}{2^k}}} = \sqrt[3]{\prod_{k=0}^9 5^{\frac{1}{2^k}}} = \sqrt[3]{5^{\displaystyle \sum_{k=0}^9 \frac{1}{2^k}}}\)
La somme des termes d’une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) est :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^9 \frac{1}{2^k} = \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1 – \frac{1}{2^{10}}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 – \frac{1}{1024}\right) = 2 \times \frac{1023}{1024} = \frac{2046}{1024} = \frac{1023}{512}\)
Donc : \( A = \sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}} \)