Concours Médecine 2021 | Q61
Forme indéterminée 0/0 ? Cette astuce débloque tout !
Une question qui semble difficile au départ mais dont la solution repose sur quelques idées fondamentales du cours.
Dans ce QCM, vous découvrirez :
Comment traiter une forme indéterminée 0/0 ;
La technique des conjugués ;
Une application classique des limites remarquables du logarithme ;
Une méthode rapide souvent utilisée dans les concours.
QCM
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\ln (e+x)}-1}{\sqrt{x+1}-1}\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{2 e}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{e}\)
\(\fbox{C}\) \(1\)
\(\fbox{D}\) \(e\)
\(\fbox{E}\) \(2e\)
La bonne réponse est B.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\ln (e+x)}-1}{\sqrt{x+1}-1}=\frac{\sqrt{\ln (e)}-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{\sqrt{1}-1}{\sqrt{1}-1}\)
Forme indéterminé \(\frac{0}{0}\)
Calcule de l:
\(l=\frac{\sqrt{\ln (e+x)}-1}{\sqrt{x+1}-1}\)
\(=\frac{(\sqrt{\ln (e+x)}-1)}{1} \times \frac{1}{\sqrt{x+1}-1}\)
\(=\frac{(\sqrt{\ln (e+x)}-1) \times (\sqrt{\ln (e+x)}+1)}{(\sqrt{\ln (e+x)}+1)}\times \frac{(\sqrt{x+1}+1)} {(\sqrt{x+1}-1)\times{(\sqrt{x+1}+1)}}\)
\(=\frac{(\sqrt{\ln (e+x)}^2-1)}{(\sqrt{\ln (e+x)}+1)}\times \frac{(\sqrt{x+1}+1)} {(\sqrt{x+1}^2-1)}\)
\(=\frac{(\ln (e+x)-1)(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{\ln (e+x)}+1)\times (x+1-1)}\)
\(=\frac{\ln (e+x)-1}{x} \times \frac{(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{\ln (e+x)}+1)}=a \times b\)
*Calcule de a:
\(a=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (e+x)-1}{x}\)
\(=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(e(1+\frac{x}{e}))-1}{x}\)
\(=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\ln(1+\frac{x}{e})-1}{x}\)
\(=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\frac{x}{e})}{\frac{x}{e}} \times \frac{1}{e}\)
\(=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\ln (1+t)}{t} \times \frac{1}{e}\:\) \((t=\frac{x}{e})\)
\(a=\frac{1}{e}\)
*Calcule de b:
\(b=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{\ln (e+2 x)}+1}\)
\(=\frac{2}{2}=1\)
Donc:
\(l=a \times b=\frac{1}{e}\)