Concours Médecine 2021 | Q62
Dérivée avec logarithme : le piège qui fait tomber beaucoup d’étudiants !
Un excellent exercice pour renforcer ses réflexes en calcul différentiel et éviter les erreurs classiques le jour du concours.
Dans ce QCM, nous détaillons chaque étape du calcul afin de retrouver l’expression exacte de la dérivée et d’identifier rapidement la bonne réponse du QCM.
Compétences travaillées :
Dérivation des fonctions composées
Logarithme népérien
Règle du produit
Simplification algébrique
QCM de concours
QCM
Si \(f(x)=\frac{1}{1-x} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\) alors \(f^{\prime}(x)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{(1-x)^2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1}{1-x^2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\)
\(\fbox{D}\) \( \frac{1}{(1-x)^2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(1-x)^2}\)
\(\fbox{E}\) \( \frac{1}{(1-x)^2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{\left(1-x^2\right)}\)
La bonne réponse est B.
\( (f \times g)’ = f’ g + f g’ \),
\( \left(\frac{1}{f}\right)’ = \frac{-f’}{f^2} \),
\( (\ln f)’ = \frac{f’}{f} \).
On calcule
\( A = \left(\frac{1}{1-x} \times \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)’ \).
On applique la règle du produit :
\( A = \left(\frac{1}{1-x}\right)’ \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{1-x} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)’ \).
On a
\( \left(\frac{1}{1-x}\right)’ = \frac{1}{(1-x)^2} \).
Et
\( \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)’ = \frac{(1+\frac{1}{x})’}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x+1}{x}} \).
Donc
\( A = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{1-x} \times \left(-\frac{1}{x^2} \times \frac{x}{x+1}\right) \).
On simplifie :
\( A = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) – \frac{1}{x(1-x^2)} \).