Concours Médecine 2021 | Q65
Forme indéterminée 0/0 ? Cette astuce débloque tout !
Un exercice de limite qui semble compliqué à cause des racines et du logarithme… mais qui cache une méthode très élégante
Au départ, le remplacement direct donne une forme indéterminée 0/0. Impossible donc de conclure immédiatement.
Dans cette vidéo, vous allez revoir :
– les formes indéterminées 0/0
– la technique des conjugués
– les limites avec le logarithme népérien
– les limites remarquables indispensables pour les concours
Un exercice parfait pour apprendre à simplifier intelligemment avant de calculer.
Une question très fréquente dans les QCM de concours et les examens de mathématiques.
QCM
Dans (\mathbf{IR}), le nombre de solutions de l’équation (x^5+x-1=0) est:
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) 2
\(\fbox{D}\) 3
\(\fbox{E}\) 5
La bonne réponse est B.
On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par
\( f(x)=x^5+x-1 \).
La fonction \( f \) est polynomiale, donc continue sur \( \mathbb{R} \).
On calcule sa dérivée :
\( f'(x)=5x^4+1 \).
Pour tout réel \( x \), on a \( 5x^4 \ge 0 \), donc
\( f'(x)>0 \) sur \( \mathbb{R} \).
Ainsi, la fonction \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
Étudions les limites de \( f \).
Lorsque \( x \to +\infty \), le terme dominant est \( x^5 \), donc
\( \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \).
Lorsque \( x \to -\infty \), le terme dominant est encore \( x^5 \), donc
\( \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \).
La fonction \( f \) est continue, strictement croissante, et prend des valeurs négatives puis positives.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \( c \) tel que
\( f(c)=0 \).
Comme \( f \) est strictement croissante, cette solution est unique.
On conclut que l’équation
\( x^5+x-1=0 \)
admet une unique solution réelle.