Concours Médecine 2021 | Q66
Ce QCM de nombres complexes piège 90% des candidats !
Un excellent exercice pour comprendre qu’en mathématiques, une bonne observation vaut souvent mieux qu’un long calcul. Les candidats qui repèrent rapidement la structure cachée de l’expression gagnent un temps précieux le jour du concours.
Dans cette vidéo, vous allez revoir :
Les propriétés des nombres complexes ;
Les simplifications algébriques rapides ;
Les puissances de i ;
Les cycles de périodicité dans C ;
Les techniques de résolution express des QCM de concours.
QCM
Dans l’ensemble (\mathbb{C}), si (|z| \bar{z}=15-20 i) alors ( |(1+i) z| ) est égal à:(\fbox{A}) (\sqrt{2})
\(\fbox{B}\) \(2 \sqrt{2}\)
\(\fbox{C}\) \( 3 \sqrt{2}\)
\(\fbox{D}\) \(4 \sqrt{2}\)
\(\fbox{E}\) 5 \sqrt{2}\)
La bonne réponse est E.
On sait que, pour tous nombres complexes \( z \) et \( z’ \),
\( |z\timesz’| = |z|\times|z’| \).
On en déduit que
\( |(1+i)z| = |1+i|\,|z| \).
Or
\( |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \).
Ainsi,
\( |(1+i)z| = \sqrt{2}\,|z| \).
Il reste donc à déterminer \( |z| \).
On sait que
\( |z|\,\overline{z} = 15 – 20i \).
On factorise :
\( 15 – 20i = 5(3 – 4i) \).
En prenant les modules des deux membres, on obtient
\( ||z|\\overline{z}| = |5(3-4i)| \).
D’où
\( |z|\,|\overline{z}| = 5\sqrt{3^2+4^2} \).
Or \( |\overline{z}| = |z| \), donc
\( |z|^2 = 5\sqrt{25} \).
Ainsi,
\( |z|^2 = 25 \),
et par conséquent
\( |z| = 5 \).
On en déduit finalement
\( |(1+i)z| = \sqrt{2}\,|z| = 5\sqrt{2} \).