Concours Médecine 2021 | Q68
Cette limite n’existe pas… et pourtant beaucoup répondent 1!
Un exercice simple en apparence, mais qui rappelle une règle fondamentale : pour qu’une limite existe en un point, les limites à gauche et à droite doivent être égales.
Une question idéale pour tester sa rigueur et éviter les conclusions trop rapides le jour du concours.Dans cette vidéo, vous allez revoir :
l’étude des limites à droite et à gauche ;
les racines carrées et les valeurs absolues cachées ;
les pièges fréquents dans les QCM de concours.
QCM
\((u_n)_{n \geq 0}\) est la suite définie par : \(u_0=1\)
et pour tout \(n \in \mathbf{IN}, u_{n+1}=u_n^2+u_n\) la limite de la suite \((u_n)_{n \geq 0}\) si elle existe, est égale à:
\(\fbox{A}\) 1
\(\fbox{B}\) \(+\infty\)
\(\fbox{C}\) 0
\(\fbox{D}\) -1
\(\fbox{E}\) Autre valeur
La bonne réponse est B.
On considère la suite \( (u_n) \) définie par
\( u_{n+1}=u_n^2+u_n \) avec \( u_0=1 \).
On calcule
\( u_{n+1}-u_n = u_n^2 \ge 0 \).
Ainsi, la suite \( (u_n) \) est croissante.
Montrons maintenant que la suite n’est pas majorée, par l’absurde.
Supposons que \( (u_n) \) soit majorée.
Comme elle est croissante et majorée, elle serait vers une limite \( l \).
On pose la fonction
\( f(x)=x^2+x \), continue sur l’intervalle \( I=[1,+\infty[ \).
On remarque que \( f(I)=[2,+\infty[ \subset I \),
et que \( u_{n+1}=f(u_n) \) avec \( u_0 \in I \).
Si \( (u_n) \) converge vers \( l \), alors par continuité de \( f \), on a \( f(l)=l \).
Donc \( l^2+l=l \),
ce qui donne \( l^2=0 \), et par conséquent \( l=0 \).
Ceci est impossible car la suite est croissante et
\( u_n \ge u_0=1 \) pour tout \( n \).
On obtient donc une contradiction.
La suite \( (u_n) \) est croissante et non majorée, donc elle diverge.
On conclut que: \( \lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty \).