Concours Médecine 2021 | Q69
Cette intégrale cache une dérivée parfaite !
Un exercice très formateur qui montre qu’avant de chercher une méthode compliquée, il faut toujours vérifier si l’expression ne cache pas une forme classique. C’est souvent ce genre d’observation qui permet de gagner un temps précieux le jour du concours.
Dans cette vidéo, vous allez revoir :
les techniques de simplification d’intégrales ;
la reconnaissance d’une dérivée cachée ;
l’utilisation du logarithme népérien dans les intégrales ;
les méthodes rapides pour résoudre les QCM de concours.
QCM
L’intégrale \(\int_0^1 \frac{x}{1+e^{-x^2}} dx\) est égale à:\(\fbox{A}\) \(\sqrt{\ln (\frac{1+e}{2})}\)
\(\fbox{B}\) \(\ln \sqrt{1+e}\)
\(\fbox{C}\) \(\ln (1+e)\)
\(\fbox{D}\) \(\ln \sqrt{\frac{1+e}{2}}\)
\(\fbox{E}\) \(\sqrt{\ln (1+e)}\)
La bonne réponse est D.
On considère l’intégrale
\( I=\int_0^1 \frac{x}{1+e^{-x^2}}\,dx \).
On commence par transformer l’expression de la fonction intégrée.
On a
\( \frac{x}{1+e^{-x^2}} = \frac{x}{1+\frac{1}{e^{x^2}}} \).
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \( e^{x^2} \), on obtient
\( \frac{x e^{x^2}}{e^{x^2}+1} \).
On écrit alors
\( \frac{x e^{x^2}}{e^{x^2}+1} = \frac{1}{2}\,\frac{2x e^{x^2}}{e^{x^2}+1} \).
Or \( (e^{x^2}+1)’ = 2x e^{x^2} \).
Ainsi,
\( \frac{x}{1+e^{-x^2}} = \frac{1}{2}\,\frac{(e^{x^2}+1)’}{e^{x^2}+1} \).
On peut donc écrire
\( I=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{(e^{x^2}+1)’}{e^{x^2}+1}\,dx \).
Une primitive est
\( \frac{1}{2}\ln(e^{x^2}+1) \).
On évalue entre 0 et 1 :
\( I=\frac{1}{2}\left[\ln(e^{x^2}+1)\right]_0^1 \).
Ainsi,
\( I=\frac{1}{2}(\ln(e+1)-\ln 2) \).
On obtient
\( I=\frac{1}{2}\ln(\frac{e+1}{2}) \).
Donc
\( I=\ln\sqrt{\frac{e+1}{2}} \)