Concours Médecine 2021 | Q70
Une simple intégration… mais le piège est dans le logarithme !
les techniques rapides pour résoudre les QCM de concours.
Un exercice élégant qui montre qu’une bonne vision géométrique et une factorisation astucieuse permettent d’éviter de longs calculs et de trouver la réponse en quelques lignes seulement.
vous allez revoir :
le calcul des primitives ;
l’intégration par parties;
la primitive de la fonction logarithme;
l’utilisation des conditions initiales pour déterminer une constante;
QCM
Si \(f(1)=4\) et \((\forall x \in \mathbf{R}_{+}^*) ; f^{\prime}(x)=2 x+\ln x\) alors \(f(e)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(e^2\)
\(\fbox{B}\) \(e+4\)
\(\fbox{C}\) \(e^2+4\)
\(\fbox{D}\) \(e\)
\(\fbox{E}\) \(4\)
La bonne réponse est C.
On considère la fonction \( f \) définie pour \( x>0 \) par
\( f(x)=\int (2x+\ln x)\,dx \).
On écrit \( 2x = (x^2)’ \).
Ainsi, \( f(x)=\int (x^2)’\,dx+\int \ln x\,dx \).
On obtient \( f(x)=x^2+\int \ln x\,dx \).
Pour calculer \( \int \ln x\,dx \), on utilise une intégration par parties.
On pose \( u=\ln x \) et \( v’=1 \).
Alors \( u’=\frac{1}{x} \) et \( v=x \).
On a donc \( \int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\frac{1}{x}\,dx \).
Ainsi, \( \int \ln x\,dx = x\ln x-\int 1\,dx \).
On obtient \( \int \ln x\,dx = x\ln x-x \).
Par conséquent, \( f(x)=x^2+x\ln x-x+c \).
On utilise la condition \( f(1)=4 \).
On a \( f(1)=1^2+1\ln 1-1+c \).
Comme \( \ln 1=0 \), on obtient \( f(1)=c \).
Donc \( c=4 \).
Ainsi, \( f(x)=x^2+x\ln x-x+4 \).
Calculons maintenant \( f(e) \).
On a \( f(e)=e^2+e\ln e-e+4 \).
Or \( \ln e=1 \), donc \( f(e)=e^2+e-e+4 \).
Finalement, \( f(e)=e^2+4 \).