Concours ENSA 2021 | Q06
Limite exponentielle… mais avec une idée clé à comprendre
On cherche la limite d’une expression avec deux puissances :
À première vue, les deux grandissent très vite… alors qui gagne ?
L’astuce consiste à tout regrouper en une seule puissance
On transforme l’expression pour obtenir une forme simple du type :
une base élevée à la puissance nnn.
Et là, tout devient clair
Si la base est strictement inférieure à 1, alors la suite tend vers 0.
Ici, après simplification, on obtient une base (< 1)
Donc la limite est immédiate
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les limites de suites exponentielles, les comparaisons de croissances et les transformations intelligentes
Moralité : comparer des puissances devient facile quand on les regroupe !
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n e^{-3n} =\)
\(\boxed{A}\) 1
\(\boxed{B}\) 0
\(\boxed{C}\) \(+\infty\)
\(\boxed{D}\) \(e\)
La bonne réponse est B.
Calcul de :
\(A = 3^n \times e^{-3n}\)
On écrit :
\(A = 3^n \times \frac{1}{e^{3n}} = 3^n \times \left( \frac{1}{e^3} \right)^n = \left( \frac{3}{e^3} \right)^n\)
On a : \(0 < \frac{3}{e^3} < 1\) car \(e^3 \approx 20,08\) et \(\frac{3}{e^3} \approx 0,149\)
Donc :
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{3}{e^3} \right)^n = 0\)
Ainsi :
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n e^{-3n} = 0\)