Concours ENSA 2021 | Q07
Sinus d’une puissance énorme ? Le piège inattendu !
Un exercice très surprenant… où une expression énorme donne finalement un résultat très simple
On cherche la limite de :
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sin ((3+\sqrt{5})^n \pi)=\)
À première vue, c’est le chaos ! Mais l’astuce est ailleurs
Grâce à la continuité du sinus, on obtient directement la limite.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les astuces avec les conjugués, les limites de suites et les propriétés du sinus
Moralité : même une expression énorme peut cacher un résultat très simple !
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
En remarquant que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \((3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n\) est un entier pair, \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sin ((3+\sqrt{5})^n \pi)=\)
\(\boxed{A}\) 1
\(\boxed{B}\) -1
\(\boxed{C}\) 0
\(\boxed{D}\) +\infty
La bonne réponse est C.
On sait que \((3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n\) est un entier pair. Donc il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que :
\((3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n = 2k\)
Ainsi :
\((3+\sqrt{5})^n = 2k – (3-\sqrt{5})^n\)
On a :
\(\sin((3+\sqrt{5})^n \pi) = \sin(2k\pi – (3-\sqrt{5})^n \pi) = -\sin((3-\sqrt{5})^n \pi)\)
D’une part, on a \(0 < 3-\sqrt{5} < 1\), donc :
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} (3-\sqrt{5})^n = 0\)
D’autre part, la fonction \(x \mapsto \sin x\) est continue en \(0\), donc :
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} \sin((3-\sqrt{5})^n \pi) = \sin(0) = 0\)
Par conséquent :
\(\lim_{n \rightarrow +\infty} \sin((3+\sqrt{5})^n \pi) = -\lim_{n \rightarrow +\infty} \sin((3-\sqrt{5})^n \pi) = -0 = 0\)