Concours ENSA 2021 | Q08
Limite trigonométrique : astuce secrète avec sin(x−a) !
Un exercice classique… mais avec une transformation magique
On cherche une limite avec des sinus et cosinus autour de π6\frac{\pi}{6}6π.
À première vue, cela ressemble à une forme compliquée
Mais l’astuce consiste à reconnaître une identité remarquable
On regroupe les termes pour faire apparaître :
une expression du type sin(x−a)
Et là… tout devient simple
On transforme l’expression en une forme connue et on obtient directement la réponse !
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les identités trigonométriques, les limites classiques et les changements de variable
Moralité : reconnaître une forme peut tout simplifier !
Résultat final : une limite simple et rapide à trouver
Concours ENSA 2021 avec correction
QCM
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{6}}=\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) 2
\(\fbox{D}\) +∞
La bonne réponse est C.
Calcule de :
\(A = \sqrt{3} \sin x – \cos x\)
\(= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x – \frac{1}{2} \cos x \right)\)
\(= 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{6} – \cos x \sin \frac{\pi}{6} \right)\)
\(= 2 \sin \left( x – \frac{\pi}{6} \right)\)
D’où :
\(L = \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x – \cos x}{x – \frac{\pi}{6}}\)
\(= \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} 2 \frac{\sin \left( x – \frac{\pi}{6} \right)}{x – \frac{\pi}{6}}\)
On pose \(t = x – \frac{\pi}{6}\), alors \(t \to 0\) :
\(L = \lim_{t \to 0} 2 \frac{\sin t}{t} = 2 \times 1 = 2\)
Donc :
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x – \cos x}{x – \frac{\pi}{6}} = 2\)