La bonne réponse est B.
On cherche à calculer la limite
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(n-\sqrt{(n+5)(n+7)}\right) \).
On remarque qu’il s’agit d’une forme indéterminée du type \( +\infty-\infty \).
On multiplie donc par l’expression conjuguée.
On a
\( n-\sqrt{(n+5)(n+7)}=\frac{n^2-(n+5)(n+7)}{n+\sqrt{(n+5)(n+7)}} \).
On développe le numérateur
\( (n+5)(n+7)=n^2+12n+35 \),
donc
\( n^2-(n^2+12n+35)=-12n-35 \).
Ainsi
\( n-\sqrt{(n+5)(n+7)}=\frac{-12n-35}{n+\sqrt{n^2+12n+35}} \).
On factorise par \( n \) au numérateur et au dénominateur
\( =\frac{n\left(-12-\frac{35}{n}\right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{12}{n}+\frac{35}{n^2}}\right)} \).
On simplifie par \( n \)
\( =\frac{-12-\frac{35}{n}}{1+\sqrt{1+\frac{12}{n}+\frac{35}{n^2}}} \).
Or
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0 \)
et
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^2}=0 \).
Donc
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(n-\sqrt{(n+5)(n+7)}\right)
=\frac{-12}{1+\sqrt{1}}=\frac{-12}{2}=-6 \).