La bonne réponse est A.
On cherche le nombre de diviseurs positifs de l’entier
\( N = 546 \times 840 \).
On commence par la décomposition en facteurs premiers.
On a
\( 546 = 2 \times 273 = 2 \times 3 \times 91 = 2 \times 3 \times 7 \times 13 \).
De même,
\( 840 = 84 \times 10 = (2^2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3 \times 7 \times 5 \).
Ainsi,
\( N = 546 \times 840 = 2^{1+3} \times 3^{1+1} \times 7^{1+1} \times 13^1 \times 5^1 \).
Donc,
\( N = 2^4 \times 3^2 \times 7^2 \times 13 \times 5 \).
Le nombre de diviseurs positifs d’un entier
\( p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k} \)
est donné par
\( (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1) \).
On obtient alors
\( n_d = (4+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1) \).
Ainsi,
\( n_d = 5 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 180 \).
Le nombre de diviseurs positifs de \( 546 \times 840 \) est donc \( 180 \).