Concours ENSA 2022 | Q04
Équation logarithmique | Domaine + Résolution pas à pas
On résout une équation logarithmique à variable réelle : ln(x^2−1)−ln(2x−1)+ln2=0
On commence par déterminer le domaine de définition, puis on applique les propriétés des logarithmes pour transformer l’équation en une équation du second degré.
Enfin, on sélectionne la solution qui appartient au domaine.
Méthode incontournable pour réussir les QCM du bac et des concours.
Résolution claire, rigoureuse et efficace.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La solution de l’équation à variable réelle x \( \ln (x^2-1)-\ln (2 x-1)+\ln 2=0\) est:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1+7 \sqrt{3}}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1+3 \sqrt{3}}{2}\)
La bonne réponse est B.
On considère l’équation \( \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0 \).
On commence par déterminer le domaine de définition.
On doit avoir \( x^2-1>0 \) et \( 2x-1>0 \).
On obtient \( x^2-1>0 \Leftrightarrow x>1 \) ou \( x<-1 \),
et \( 2x-1>0 \Leftrightarrow x>\frac{1}{2} \).
Donc le domaine d’étude est \( D_e=]1,+\infty[ \).
Soit \( x \in ]1,+\infty[ \).
L’équation devient \( \ln(x^2-1)+\ln 2=\ln(2x-1) \).
En utilisant les propriétés des logarithmes, on a \( \ln(2(x^2-1))=\ln(2x-1) \).
Ainsi, \( 2(x^2-1)=2x-1 \).
On développe \( 2x^2-2=2x-1 \), ce qui donne \( 2x^2-2x-1=0 \).
On calcule le discriminant
\( \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times2\times(-1)=12 \).
Les solutions sont
\( x_1=\frac{2-\sqrt{12}}{4}=\frac{1-\sqrt{3}}{2} \)
et \( x_2=\frac{2+\sqrt{12}}{4}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \).
Comme \( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\notin D_e \)
et \( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\in D_e \),
la solution de l’équation est \( x=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \).