Concours ENSA 2022 | Q06
Astuce rapide d’un Limite classique
L’objectif principal est de déterminer la limite d’une suite spécifique lorsque son indice tend vers l’infini.
Pour parvenir au résultat, le texte utilise une transformation exponentielle afin de simplifier l’expression radicale initiale.
En s’appuyant sur les croissances comparées entre le logarithme et les puissances, la démonstration prouve que l’exposant converge vers zéro.
Finalement, l’explication conclut que la valeur recherchée est égale à un, confirmant ainsi la validité de la première option proposée.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
\(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{n^2}=\)
\(\fbox{A}\) 1
\(\fbox{B}\) 0
\(\fbox{C}\) \(+\infty\)
\(\fbox{D}\) e
La bonne réponse est A .
On cherche à calculer la limite
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{n^2} \).
On commence par réécrire l’expression.
On a
\( \sqrt[n]{n^2}=n^{\frac{2}{n}} \).
En utilisant l’écriture exponentielle, on obtient
\( n^{\frac{2}{n}}=e^{\frac{2}{n}\ln n} \).
On sait que
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln n}{n}=0 \).
Donc
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2\ln n}{n}=0 \).
Par continuité de la fonction exponentielle, on en déduit
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}e^{\frac{2\ln n}{n}}=e^0=1 \).
Ainsi,
\( \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{n^2}=1 \).