Concours ENSA 2022 | Q08
Continuité d’une fonction définie par morceaux
L’objectif est de déterminer les paramètres réels pour lesquels la fonction est continue à l’origine en analysant les limites latérales.
Pour lever l’indétermination mathématique rencontrée, la source détaille l’application de la règle de L’Hôpital en utilisant les dérivées successives du numérateur et du dénominateur.
La démonstration prouve que la limite à droite est égale à -1/2, ce qui permet de fixer la valeur d’une des constantes.
En conclusion, la source identifie la réponse D comme étant la seule solution exacte garantissant la cohérence de la fonction au point zéro.
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soient \(a\) et \(b\) deux réels; la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2} \quad \text { si } x>0 \\ a x+b \quad \text { si } x \leq 0\end{array}\right.\)
\(f\) est continue en 0 ssi
\(\fbox{A}\) \(a \in IR\) et \(b=2\)
\(\fbox{B}\) \(a=0\) et \(b=1\)
\(\fbox{C}\) \(a=\frac{-1}{2}\) et \(b=\frac{1}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(a \in IR\) et \(b=\frac{-1}{2}\)
La bonne réponse est D.
Soient \(a\) et \(b\) deux réels; la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2} \quad \text { si } x>0 \\ a x+b \quad \text { si } x \leq 0\end{array}\right.\),
les valeurs de \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue en \(0\)
Méthode:
pour que \(f\) soit continue en \(0\) ,nous avons besoin de vérifier trois conditions :1.\(f\) doit être définie en \(0\) (calcule de \(f(0)\)) ;
2.\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}f(x)= f(0)\);
3.\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}f(x)= f(0)\).
En effet:
On a :
1. \(f(0)=a×0+b=b\)
2. \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}f(x)=b\);
3. calcul de \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}\).
Méthode:
Règle de l’Hospital est une méthode pour lever des formes indéterminées du type \(\frac{0}{0}\)
en utilisant la dérivée des fonctions
⇒ Si \(\:\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \:\) , alors \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
Soit \(x≥0\)
on pose \(\:g(x)=\ln (1+x)-x\:\) et \(\:h(x)=x^2\)
on a \(\:g(0)=0\:\) et \(\:h(0)=0\)
part suite:
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}\)
=\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{h(x)}\)
=\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}{\frac{h(x)-h(0)}{x-0}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{g'(x)}{h'(x)}\)
=\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{-x}{1+x}}{2x}\)
=\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{-1}{1+x}}{2}=-\frac{1}{2}\)
donc:
\(f\) continue en \(0 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0) \Leftrightarrow b=\frac{-1}{2}\:\) et\(\:a\in IR\) .