Concours ENSA 2022 | Q10
Tangente d’une fonction réciproque : le piège classique
Un exercice qui peut facilement piéger… surtout si on oublie une propriété très importante
On travaille avec la fonction \(f(x)=xe^x\)et on cherche la tangente à la courbe de sa fonction réciproque au point d’abscisse e.
Plutôt que de chercher directement la dérivée de la fonction réciproque, on utilise une relation clé :
la pente de la tangente d’une fonction réciproque se déduit directement de celle de la fonction initiale.
Ensuite, on remarque un détail très malin :
il existe une valeur simple qui donne exactement eee, ce qui permet de trouver rapidement le point de tangence
Une fois ces deux idées utilisées, tout devient fluide… et on obtient une équation de droite très propre.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les fonctions réciproques, les tangentes et surtout les bonnes stratégies pour gagner du temps
Moralité : connaître les formules clés peut transformer un exercice difficile en question facile !Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soit \(f:[0,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[\) définie par \(f(x)=xe^x\),
L’équation de la tangente à la courbe \(f^{-1}\) au point d’abscisse e est:
\(\fbox{A}\) \(y=\frac{1}{2 e} x+\frac{1}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(y=\frac{1}{e} x+\frac{1}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(y=\frac{1}{2 e} x+1\)
\(\fbox{D}\) \(y=\frac{1}{e} x-1\)
La bonne réponse est A.
\( f \) est une fonction définie sur \([0, +\infty[\) par \( f(x) = x e^x \).
On veut calculer l’équation de la tangente \( T_e \) à la courbe de \( f^{-1} \) au point d’abscisse \( e \).
Définition :
L’équation réduite de la tangente \( T_a \) à la courbe de \( g \) au point d’abscisse \( a \) est :
\( y = g'(a)(x – a) + g(a) \)
Ici, on a \( g(x) = f^{-1}(x) \).
Calcul de \( f^{-1}(e) \) :
On remarque que \( f(1) = 1 \cdot e^1 = e \), donc \( f^{-1}(e) = 1 \).
Calcul de \( (f^{-1})'(e) \) :
On sait que \( (f^{-1})'(e) = \frac{1}{f'(f^{-1}(e))} \).
On a \( f'(x) = (1 + x) e^x \), donc :
\( f'(f^{-1}(e)) = f'(1) = (1 + 1) e^1 = 2e \)
Ainsi :
\( (f^{-1})'(e) = \frac{1}{2e} \)
Par suite, l’équation de la tangente \( T_e \) est :
\( y = (f^{-1})'(e)(x – e) + f^{-1}(e) \)
\( y = \frac{1}{2e}(x – e) + 1 \)
\( y = \frac{1}{2e}x – \frac{1}{2e} \cdot e + 1 \)
\( y = \frac{1}{2e}x – \frac{1}{2} + 1 \)
\( y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2} \)
L’équation de la tangente est \( y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2} \).