Concours ENSA 2022 Q11
Cette intégrale est plus facile que tu ne penses !
Un exercice qui peut sembler compliqué au premier regard… mais qui cache en réalité une simplification très astucieuse
On cherche à calculer une intégrale avec une fraction un peu “lourde”.
Beaucoup d’élèves essaient directement d’intégrer… et se compliquent la vie
L’idée clé ici, c’est de réécrire intelligemment l’expression.
L’intégrale se calcule presque mentalement si on reconnaît la bonne forme.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les techniques de simplification
la reconnaissance des formes classiques et les primitives fondamentales
Moralité : en intégration, simplifier avant de calculer est souvent la meilleure stratégie !
Résultat final : une expression simple avec \(\pi\)
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
\(\int_0^1 \frac{1-x^2}{1+x^2} d x=\)
\(\fbox{A}\) \(\frac{\pi}{2}+1\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{\pi}{2}-1\)
\(\fbox{C}\) \(-1+\frac{\pi}{4}\)
\(\fbox{D}\) \(-1-\frac{\pi}{4}\)
La bonne réponse est B
Calcul de \(\int_0^1 \frac{1-x^2}{1+x^2} d x=?\)
En effet:
On a:
\(\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{2-1-x^2}{1+x^2}=\frac{2}{1+x^2}-1\)
d’où:
\(\int_0^1 \frac{1-x^2}{1+x^2} d x =\int_0^1(\frac{2}{1+x^2}-1) dx=[2Arctan (x)-x]_0^1\)
\(=2Arctan(1)-1=2 \frac{\pi}{4}-1=\frac{\pi}{2}-1\)