Concours ENSA 2022 Q13
Une formule magique cachée !
Un exercice qui peut sembler impossible sans calculatrice… mais qui devient accessible grâce à une idée très puissant
L’astuce consiste à utiliser la formule du cosinus de l’angle moitié, plusieurs fois de suite.
À chaque étape, on applique la même idée… et une structure imbriquée apparaît
Résultat :
on obtient une expression avec des racines emboîtées, très élégante et typique des exercices de trigonométrie avancée.
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les formules d’angle moitié
la logique étape par étape et les calculs exacts sans calculatrice
Moralité : en trigonométrie, partir d’un angle connu est souvent la clé !
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
\(\cos (\pi / 16)\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1}{16} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
La bonne réponse est D
pour \(a=\frac{\pi}{16}\Rightarrow \cos(\frac{\pi}{16})=\sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{8})}{2}}\) ①
pour \(a=\frac{\pi}{8}\Rightarrow\cos(\frac{\pi}{8})=\sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{4})}{2}}\) ②
Or \(\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
en remplace ② dans ① on obtient:
\(\cos (\frac{\pi}{16})=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)