Concours ENSA 2022 Q14
Puissance 2023 d’un nombre complexe ? Trop facile avec cette astuce !
Un exercice impressionnant au premier regard… mais qui se résout en quelques secondes avec une bonne idée
Beaucoup pensent que ça demande des calculs énormes… mais en réalité, tout devient simple grâce à la forme exponentielle
On reconnaît immédiatement un nombre complexe situé sur le cercle trigonométrique.
Cela permet de le réécrire sous une forme beaucoup plus pratique.
Ensuite, la clé du problème est de comprendre une propriété fondamentale :
les puissances des nombres complexes “tournent” sur le cercle, avec une périodicité très précise
En réduisant intelligemment l’exposant, on évite totalement les calculs longs… et on retombe sur une valeur déjà connue
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
la forme exponentielle
la périodicité des arguments
et les puissances des nombres complexes
Moralité : en nombres complexes, reconnaître une rotation vaut mieux que calculer !Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La formule algébrique du nombre complexe \((\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})^{2023}\) est:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\)
La bonne réponse est D.
Calcul de \( I_4 = \int_{-1}^1 (x^2-1)^4 \, dx \)
Méthode : on utilise le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de \((x^2-1)^4\).
En effet, d’après le triangle de Pascal, les coefficients pour la puissance 4 sont : \(1, 4, 6, 4, 1\).
Ainsi :
\( (x^2-1)^4 = (x^2)^4 – 4(x^2)^3 + 6(x^2)^2 – 4(x^2) + 1 \)
\( = x^8 – 4x^6 + 6x^4 – 4x^2 + 1 \)
D’où :
\( I_4 = \int_{-1}^1 (x^8 – 4x^6 + 6x^4 – 4x^2 + 1) \, dx \)
\( = \left[ \frac{1}{9}x^9 – \frac{4}{7}x^7 + \frac{6}{5}x^5 – \frac{4}{3}x^3 + x \right]_{-1}^1 \)
Calculons la valeur en \( x = 1 \) :
\( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \)
Calculons la valeur en \( x = -1 \) :
\( -\frac{1}{9} + \frac{4}{7} – \frac{6}{5} + \frac{4}{3} – 1 \)
On remarque que ces deux expressions sont opposées. En effet :
\( \left[ \frac{1}{9}x^9 – \frac{4}{7}x^7 + \frac{6}{5}x^5 – \frac{4}{3}x^3 + x \right]_{-1}^1 \)
\( = \left( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \right) – \left( -\frac{1}{9} + \frac{4}{7} – \frac{6}{5} + \frac{4}{3} – 1 \right) \)
\( = 2 \left( \frac{1}{9} – \frac{4}{7} + \frac{6}{5} – \frac{4}{3} + 1 \right) \)
Mettons au même dénominateur commun \( 315 \) :
\( \frac{1}{9} = \frac{35}{315} \), \( -\frac{4}{7} = -\frac{180}{315} \), \( \frac{6}{5} = \frac{378}{315} \), \( -\frac{4}{3} = -\frac{420}{315} \), \( 1 = \frac{315}{315} \)
Somme :
\( \frac{35 – 180 + 378 – 420 + 315}{315} = \frac{128}{315} \)
Ainsi :
\( I_4 = 2 \times \frac{128}{315} = \frac{256}{315} \)
La valeur de \( I_4 \) est \( \frac{256}{315} \).