Concours ENSA 2022 Q16
Discriminant complexe Parfait ! Résolution ultra rapide
Un exercice qui semble très technique… mais qui devient étonnamment simple avec une bonne observation
On travaille avec une équation du second degré dans C, dépendant d’un paramètre m.
L’objectif : trouver une relation entre les parties imaginaires des solutions.
Au début, le calcul du discriminant paraît lourd… mais surprise
tout se simplifie parfaitement, et on obtient une forme remarquable !
Cette simplification permet de déterminer rapidement les deux solutions sans difficulté.
Ensuite, au lieu de compliquer les calculs, on se concentre sur ce qui est demandé :les parties imaginaires
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
le discriminant complexe, les équations du second degré dans C et les stratégies pour simplifier rapidement
Moralité : repérer une forme remarquable peut tout changer !
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation suivante: \(2 z^2-2(m+1+i) z+m^2+(1+i) m+i=0\) avec \(m ∈ℂ*\) et \(z∈ℂ\) , \(m ≠1, i \) \(Im(z_1) \times Im(z_1) =\)
\(\fbox{A}\) \(\frac{1-m^2}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1+m^2}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1-m^2}{4}\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1+m^2}{4}\)
La bonne réponse est C.
Cherchons les deux solutions de l’équation :
\(2z^2 – 2(m+1+i)z + m^2 + (1+i)m + i = 0\)
\(\Delta = \big[-2(m+1+i)\big]^2 – 4 \times 2 \times \big(m^2 + (1+i)m + i\big)\)
\(= 4\big((m+1+i)^2 – 2m^2 – 2(1+i)m – 2i\big)\)
\(= 4\big(m^2 + 2(1+i)m + (1+i)^2 – 2m^2 – 2(1+i)m – 2i\big)\)
\(= 4\big(m^2 – 2m^2 + 2(1+i)m – 2(1+i)m + (1+i)^2 – 2i\big)\)
Calculons \((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i\)
Ainsi :
\(\Delta = 4\big(-m^2 + 2i – 2i\big) = 4(-m^2) = -4m^2\)
Donc \(\Delta = (2im)^2\)
Les solutions sont :
\(z_1 = \frac{2(m+1+i) + 2im}{4} = \frac{m+1+i + im}{2} = \frac{m+1 + i(1+m)}{2}\)
\(z_2 = \frac{2(m+1+i) – 2im}{4} = \frac{m+1+i – im}{2} = \frac{m+1 + i(1-m)}{2}\)
D’où :
\(\operatorname{Im}(z_1) = \frac{1+m}{2}, \quad \operatorname{Im}(z_2) = \frac{1-m}{2}\)
Donc :
\(\operatorname{Im}(z_1) \times \operatorname{Im}(z_2) = \frac{1+m}{2} \times \frac{1-m}{2} = \frac{1 – m^2}{4}\)