Concours ENSA 2022 Q17
Équation différentielle : solution rapide avec conditions initiales !
Un exercice classique… mais qui demande de bien maîtriser la méthode
On résout une équation différentielle du second ordre avec des conditions initiales.
À première vue, cela peut sembler technique… mais tout repose sur une démarche bien structurée
Première étape : résoudre l’équation caractéristique
On obtient des racines complexes, ce qui donne une solution sous forme exponentielle avec cosinus et sinus
Deuxième étape : utiliser les conditions initiales
C’est ici que tout se joue !
On remplace intelligemment pour trouver les constantes sans se perdre dans les calculs.
Résultat : une solution complète, propre et parfaitement déterminée
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les équations différentielles linéaires, les racines complexes et l’utilisation des conditions initiales
Moralité : une méthode claire rend même les exercices longs très simples !
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
La solution \(y(x)\) de l’équation différentielle suivante:
\(y^{« }+y^{‘}+\frac{5}{2}=0\) & \(y=0, y(0)=-4 , y^{‘}(0)=6\: \) est:
\(\fbox{A}\) \(e^{\frac{x}{2}}(-4cos(\frac{3}{2}x)-\frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2} x)\)
\(\fbox{B}\) \(e^{\frac{\pi}{2}}(-4cos(\frac{3}{2}x)+\frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2} x)\)
\(\fbox{C}\) \(e^{\frac{-x}{2}}(-4cos(\frac{3}{2}x)-\frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2} x)\)
\(\fbox{D}\) \(e^{\frac{-x}{2}}(-4cos(\frac{3}{2}x)+\frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2} x)\)
La bonne réponse est A.
Cherchons les solutions de l’équation différentielle du second degré
\(E : y » + y’ + \frac{5}{2}y = 0\)
qui réalise les deux conditions \(y(0) = -4\), \(y'(0) = 6\).
Soit \(x \in \mathbb{R}\). D’après \((E)\), l’équation caractéristique est :
\(t^2 + t + \frac{5}{2} = 0\)
\(\Delta = -9 = (3i)^2 \Rightarrow r_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{3}{2}\) et \(r_2 = -\frac{1}{2} – i\frac{3}{2}\)
Soit \(x \in \mathbb{R}\)
\((E) \Leftrightarrow y(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \lambda \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + \mu \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right)\)
avec \((\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\)
D’où :
\(y(0) = \lambda \Rightarrow \lambda = -4\)
D’autre part :
\(y'(x) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}x} \left( \lambda \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + \mu \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right) + e^{-\frac{1}{2}x} \left( -\frac{3}{2}\lambda \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2}\mu \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right)\)
\(\Rightarrow y'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \left( -\frac{1}{2}\lambda + \frac{3}{2}\mu \right) \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + \left( -\frac{1}{2}\mu – \frac{3}{2}\lambda \right) \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right)\)
D’où :
\(y'(0) = -\frac{1}{2}\lambda + \frac{3}{2}\mu \Rightarrow \frac{-\lambda + 3\mu}{2} = 6\)
On sait que \(\lambda = -4\) :
\(\frac{-(-4) + 3\mu}{2} = 6 \Rightarrow \frac{4 + 3\mu}{2} = 6 \Rightarrow 4 + 3\mu = 12 \Rightarrow \mu = \frac{8}{3}\)