Concours ENSA 2022 Q18
Droite perpendiculaire à un plan ? Méthode ultra simple !
Un exercice de géométrie dans l’espace qui peut sembler compliqué… mais qui devient très clair avec la bonne méthode
On travaille avec :
une sphère donnée par une équation cartésienne et un plan dans l’espace
Première étape : reconnaître la forme de la sphère
En complétant les carrés, on identifie rapidement son centre
Deuxième étape : exploiter le plan
Son équation donne directement un vecteur normal… et c’est la clé de l’exercice
Parce qu’une droite perpendiculaire à un plan a exactement le même vecteur directeur que le vecteur normal du plan
Dernière étape : écrire l’équation paramétrique
On combine le point (centre de la sphère) + le vecteur directeur → et c’est terminé !
Ce type d’exercice permet de maîtriser :
les équations de sphères, les vecteurs normaux et les droites dans l’espace
Moralité : en géométrie 3D, le vecteur normal est ton meilleur allié !
Concours ENSA 2022 avec correction
QCM
Dans un repère orthonormé, on considère le plan \(P\) d’équation cartésienne \(2x-y-2 z+2=0\)
et la sphère d’équation \(x^2-6 x+y^2+z^2+10 z-2=0\).
Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan \(P\) est:
\(\fbox{A}\) \(\left\{\begin{array}{c}x=3+2 t \\ y=-t \\ z=-5-2 t\end{array}, t \in I R\right.\)
\(\fbox{B}\) \(\left\{\begin{array}{c}x=3-2 t \\ y=t \\ z=-5-2 t\end{array}, t \in I R\right.\)
\(\fbox{C}\) \(\left\{\begin{array}{c}x=3+2 t \\ y=-t \\ z=5-2 t\end{array}, t \in I R\right.\)
\(\fbox{D}\) \(\left\{\begin{array}{c}x=-3+2 t \\ y=-t \\ z=-5-2 t\end{array}\right.\), \(t \in I R\)
La bonne réponse est A.
On a :
\((S): x^2 – 6x + y^2 + z^2 + 10z – 2 = 0\)
\(\Rightarrow x^2 – 6x + 9 – 9 + y^2 + z^2 + 10z + 25 – 25 – 2 = 0\)
\(\Rightarrow (x – 3)^2 + (y – 0)^2 + (z + 5)^2 = 6^2\)
\(\Rightarrow \Omega(3, 0, -5)\) est le centre de la sphère \((S)\).
D’autre part :
\((P): 2x – y – 2z + 2 = 0\)
\(\Rightarrow \vec{n}(2, -1, -2)\) est un vecteur normal au plan \((P)\).
Comme \((D)\) est la droite passant par \(\Omega(3, 0, -5)\) et de vecteur directeur \(\vec{n}(2, -1, -2)\),
donc :
\((D): \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 – 2t \end{array}, \quad t \in \mathbb{R}\right.\)