Concours ENSA 2023 | Q03
Combien de couples sont vraiment possibles ?
On cherche le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut 150.
Un problème simple en apparence, mais qui demande une bonne analyse de la décomposition en facteurs premiers.
En observant comment se répartissent les facteurs, on trouve rapidement le nombre exact de couples possibles.
Raisonnement arithmétique
Idée clé sur les nombres premiers entre eux
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut 150 est égal à :
\(\fbox{A}\) 4
\(\fbox{B}\) 6
\(\fbox{C}\) 8
\(\fbox{D}\) 10
La bonne réponse est: C.
la décomposition de \(150\) en produit de facteur premier
\(150=2 \times 3 \times 5^2\)
les diviseurs de \(150\):
\(D_{150}=\{1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150\}\)
soit \(S\) le couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut 150
\(S=\{(1,150) ;(2,75) ;(3,50) ;(6,25)\}; (150,1) ;(75,2) ;(50,3) ;(25,6)\}\)
Donc:
Le nombre de couples est \(8\).