Concours ENSA 2023 | Q07
Une limite dominée par un détail
On étudie la limite de \frac{\cos(x^2+x-1)}{x}
Même si le cosinus oscille, un raisonnement simple sur les bornes permet de conclure rapidement sur le comportement de l’expression.
Analyse efficace
Idée clé sur les fonctions bornées
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos(x^2+x-1)}{x}=\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) -1
\(\fbox{D}\) n’a pas de limite
La bonne réponse est A.
On cherche la limite de \(\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
On remarque que \(\lim_{x\to+\infty} (x^2+x-1)=+\infty\). La fonction \(\cos(x^2+x-1)\) n’a donc pas de limite, mais elle reste toujours comprise entre \(-1\) et \(1\).
Ainsi, pour \(x>0\), on a
\(|\cos(x^2+x-1)|\le 1\),
d’où
\(\left|\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}\right|\le \frac{1}{x}\).
On applique le théorème des gendarmes :
\(-\frac{1}{x} \le \frac{\cos(x^2+x-1)}{x} \le \frac{1}{x}\).
Or \(\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}=0\).
Par conséquent, on obtient
\(\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos(x^2+x-1)}{x}=0\).