Concours ENSA 2023 | Q08
Quand la continuité force la simplicité
On considère une fonction f:R dans Z continue.
Même si les entiers semblent dispersés, la continuité impose une contrainte forte : f ne peut pas “sauter” entre valeurs différentes.
Résultat surprenant mais élégant : une telle fonction est forcément constante.
Idée clé : continuité et valeurs discrètes
Raisonnement simple mais puissant
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Soit \(f\) une fonction continue de \(IR\) à valeurs dans \(Z\)
alors:
\(\fbox{A}\) \(f\) n’est pas constante
\(\fbox{B}\) \(f\) est une constante
\(\fbox{C}\) \(f\) est strictement croissante
\(\fbox{D}\) \(f\) est strictement décroissante
La bonne réponse est B.
Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{Z}\).
On cherche à déterminer la nature de \(f\).
On utilise un raisonnement par l’absurde.
Supposons que \(f\) ne soit pas constante.
Alors il existe \∃(a<b\) dans \(\mathbb{R}\) tels que \(f(a)\neq ≠f(b)\).
On peut supposer, par exemple, que \(f(a)<f(b)\).
Comme \(f\) est continue sur l’intervalle \([a,b]\), le théorème des valeurs intermédiaires garantit que pour tout réel \(\lambda\) ∀ λ compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe ∊∈\(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=\lambda\).
Or \(f\) ne prend que des valeurs entières.
Il est impossible qu’il y ait un réel \(\lambda\) strictement compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) qui soit entier si \(f(a)\neq f(b)\). Ceci conduit à une contradiction.
Donc \(f\) doit être constante.